a) Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\)(hai góc so le trong, AB//DC)

Do đó: ΔAOB∼ΔCOD(g-g)

⇒\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(1)

Xét ΔADC có 

I∈AD(gt)

O∈AC(gt)

IO//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AO}{OC}\)(Định lí Ta lét)(2)

Xét ΔBDC có 

O∈BD(gt)

K∈BC(gt)

OK//CD(gt)

Do đó: \(\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{BO}{OD}\)(Định lí Ta Lét)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{BK}{KC}\)

⇒\(\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{ID}{KC}\)

Ta có: I nằm giữa A và D(gt)

nên AI+ID=AD

Ta có: K nằm giữa B và C(gt)

nên KB+KC=BC

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AI+ID}{BK+KC}=\dfrac{AD}{BC}\)

Do đó: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{AD}{BC}\\\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AD}{BC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{BK}{BC}\\\dfrac{ID}{AD}=\dfrac{KC}{BC}\end{matrix}\right.\)(đpcm)(6)

b) Xét ΔADC có 

I∈AD(gt)

O∈AC(gt)

IO//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{IO}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(4)

Xét ΔBDC có 

O∈BD(gt)

K∈BC(gt)

OK//DC(gt)

Do đó: \(\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{OK}{DC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(5)

Từ (4), (5) và (6) suy ra \(\dfrac{OI}{DC}=\dfrac{OK}{DC}\)

⇒OI=OK

mà I,O,K thẳng hàng(gt)

nên O là trung điểm của IK(đpcm)

a: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB\(\sim\)ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}\)(2)

b: Xét ΔCAD có OE//AD

nên \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\)(1)

Xét ΔBDC có OF//BC

nên \(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{CF}{CD}\)

=>DE=CF

Hình bạn tự vẽ nha.

Vì ABCD là hình thang có:

đường chéo AC=BD

=>tam giác AOD=BOC (1)

Do MN đ i qua O ,MN//AB,MN//CD ( theo đề bài) 

=> 3 điểm M,N,O thẳng hàng

=> O là trung điểm của MN

=> MO=ON

Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD

nên AM/AD=BN/BC

Xét ΔADC có OM//DC

nên OM/DC=AM/AD

Xét ΔBDC có ON//DC

nên ON/DC=BN/BC

=>OM/DC=ON/DC

=>OM=ON

=>O là trung điểm của MN

Xét ΔDAB có OM//AB

nên OM/AB=DM/DA

OM/AB+OM/DC

=AM/AD+ON/DC

=AM/AD+BN/BC

=1

=>1/AB+1/DC=1/OM=2/MN

alodgdhgjkhukljhkljyutfruftyhf